Método
de cuadrados mínimos – Regresión lineal
Hemos
enfatizado sobre la importancia de las representaciones gráficas y hemosvisto
la utilidad de las versiones linealizadas de los gráficos (
X,
Y
)
junto a las distintasmaneras de llevar a
cabo la linealización. A menudo nos confrontamos con situacionesen las que
existe o suponemos que existe una relación lineal entre las variables
X
e
Y
.Surge de modo natural la pregunta: ¿cuál es la
relación analítica que mejor se ajusta anuestros datos? El
método
de cuadrados mínimos
es
un procedimiento general que nospermite responder esta pregunta. Cuando la
relación entre las variables X e Y
es
lineal,el método de ajuste por cuadrados mínimos se denomina también
método
de regresiónlineal
. En
este capítulo discutiremos este último caso. El lector puede consultar en elApéndice F de la Ref. [1] una discusión del caso
general de cuadrados mínimos cuandoel modelo es no lineal y los datos están
afectados de errores.La Fig. 1 ilustra el caso lineal. La dispersión de los
valores está asociada a lafluctuación de los valores de cada variable.
Observamos o suponemos una tendencialineal entre las variables y nos
preguntamos sobre cuál es la
mejor
recta:
y( x) =a x+b
Métodos cuantitativos de análisis
gráfico
Método de cuadrados mínimos – Regresión
lineal
Hemos enfatizado
sobre la importancia de las representaciones gráficas y hemos visto la utilidad
de las versiones linealizadas de los gráficos (
X, Y
) junto a las distintasmaneras de llevar a cabo la linealización. A
menudo nos confrontamos con situacionesen las que existe o suponemos
que existe una relación lineal entre las variables
X eY
.Surge
de modo natural la pregunta: ¿cuál es la relación analítica que mejor se ajusta
anuestros datos? El
método de cuadrados
mínimos
es un procedimiento general que
nospermite responder esta pregunta. Cuando la relación entre las variables
X eY
es lineal,el método
de ajuste por cuadrados mínimos se denomina también
método de
regresiónlineal
. En este capítulo discutiremos este
último caso. El lector puede consultar en elApéndice
F de la Ref. [1] una discusión del caso general de cuadrados mínimos cuandoel
modelo es no lineal y los datos están afectados de errores.La Fig. 1 ilustra el
caso lineal. La dispersión de los valores está asociada a lafluctuación de los
valores de cada variable. Observamos o suponemos una tendencialineal entre las
variables y nos preguntamos sobre cuál es la
mejor recta:
y( x) =a x+b
(1)que
representa este caso de interés.Es útil definir la función
χ2(Chi-cuadrado)[1-3]:
∑ +⋅−=ibi xai y2)(2 χ(2)que es una medida de la desviación total de los
valores observados
Y i respecto de lospredichos por el modelo lineal
a x+b.
Los mejores valores de la pendiente
A y laordenada al origen b son
aquellos que minimizan esta desviación total, o sea, son losvalores que remplazados en la Ec.(1) minimizan la
función χ 2, Ec.(2). Los parámetros a y b pueden obtenerse usando técnicas matemáticas que
hacen uso del cálculo.
